\begin{section}{Introducción teórica}

\begin{subsection}{Interpolación mediante splines}
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% Intro splines (general)
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Un spline es una función partida definida a trozos mediante polinomios hecha de forma tal que interpola suavemente una serie de puntos dados (puntos de control). En particular en este trabajo se trabajó con splines cúbicos\footnote{Ver {\sf Interpolación de trazadores cúbicos} en {\em Análisis Numérico}\cite{burden} }, donde dichos polinomios son de grado tres. La ventaja de la interpolación mediante splines cúbicos es que da lugar a resultados similares a otros métodos de interpolación requiriendo sólamente el uso de polinomios de bajo grado y a la vez se evitan las oscilaciones que aparecen al interpolar mediante polinomios de grado elevado, que en la mayoría de las aplicaciones resultan indeseables. 

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% Intro splines R -> R²
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Cuando es necesario interpolar puntos en el plano mediante splines, se utiliza un spline por coordenada y se establece una parametrización para la curva según algún criterio. Las parametrizaciones implementadas en el trabajo fueron la {\em uniforme}, \text{\em chord-lenght} y \text{\em centrípeta}, cuyos criterios están indicados en el enunciado del trabajo \footnote{Ver {\sf Apéndice A}}.
% ---- TODO: agregar un ejemplo de spline de R->R y R-R²
\end{subsection} %--- Interpolación

\begin{subsection}{Búsqueda de ceros}
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% Intro búsqueda de ceros (gen)
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Uno de los problemas resueltos en este trabajo es la búsqueda del punto de la curva más cercano a un punto dado, es decir minimizar la función distanciaentre ambas cosas. Para lograr esta minimización, hace falta en primer lugar buscar los puntos críticos de la derivada de la función. Por eso necesitamos implementar un algoritmo que permita encontrar los ceros de un polinomio en un intervalo dado.
\begin{subsubsection}{Método de bisección}
%El método de la bisección
El método de bisección es un algorítmo para buscar raices de una funcion \text{f} dentro de un intervalo [a,b]. Por simpicidad, supondremos que existe solo una raiz en el intervalo, con lo que podemos afirmar entonces que $f(a).f(b) < 0$. El algoritmo funciona de la siguiente manera:
\begin{itemize}
	\item 1. Se evalúan los extremos de [a,b] y se verifica que $f(a).f(b) < 0$
	\item 2. Se divide el intervalo en dos subintervalos en su punto medio: [a,$\dfrac{a+b}{2}$] y [$\dfrac{a+b}{2}$,b]
	\item 3. Se evalúa $f(\dfrac{a+b}{2})$ y se compara con 0. De ser igual a cero entonces encontramos la raiz. De no ser igual a cero se verifica si $f(a).f(\dfrac{a+b}{2}) < 0$. De ser esto verdadero ese caso se toma el primer intervalo [a,$\dfrac{a+b}{2}$]. De no serlo se toma el segundo intervalo [$\dfrac{a+b}{2}$,b] 
	\item 4. Se repite este procedimiento con el nuevo intervalo. 
\end{itemize}

El algoritmo puede terminar una vez que encuentra el cero, o puede correr una cantidad finita de iteraciones para aproximar la raiz o puede evaluar el valor absoluto de f($\dfrac{a+b}{2}$) en cada iteración y verificar que sea menor a cierta tolerancia.
% ---- TODO: completar
\end{subsubsection}

\begin{subsubsection}{Método de Newton}
El Método de Newton es un algoritmo que utiliza los primeros términos de la Serie de Taylor para encontrar una raíz en un intervalo $[a,b]$. Este método se basa en calcular la intersección entre el eje $x$ y la recta tangente a un punto en el intervalo cerca de los puntos donde el valor de la función es cero:
\begin{itemize}
	\item 1. Se escoge una primera aproximación $x_{0} \in [a, b]$ de la solución a la ecuación.
	\item 2. Por cada iteración se calcula la siguiente aproximación utilizando la fórmula de recurrencia:
		$$x_{i+1} = x_i - \dfrac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$	
\end{itemize}

%\todo{EXPLICAR EL MÉTODO Y AGREGAR ALGUN GRAFICO COPANTE}
\end{subsubsection} %--- Método de Newton

\end{subsection} 

\end{section}
